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创设思维时空 理解概念本质——“表内除法(一)”单元教学谈
作者:江苏省无锡市五爱小学 诸菁如 许科勤  录入时间:2022-7-21  阅读次数:170

“表内除法(一)”是苏教版教材二年级上册第四单元的教学内容。本单元主要教学平均分的方法、除法的初步认识,以及用16的乘法口诀求商等。相对于加、减、乘这三种运算,除法的含义较为抽象,学生对除法含义的理解不可能一蹴而就,应当有一个渐进的过程。下面,我们结合自己的教学实践,谈谈如何创设思维时空,引导学生理解除法概念的本质。

一、创设操作时空,体会平均分特点

认识除法,离不开平均分的操作活动。而平均分的操作活动,不能只关注平均分的结果,也要关注平均分的过程。

比如,教材中的例3是:“把8个桃平均分给2个小朋友,每个小朋友分几个?”教材的意图是引导学生按指定的份数进行平均分,得到每份是多少。实际教学中,虽然学生操作的结果都是每个小朋友分到了4个,但操作的过程往往各不相同。一般而言,学生会出现以下三种分法:第一种分法,一次拿4个,分了两次;第二种分法,每次只拿1个,然后左1个、右1个地分,直至分完;第三种分法,也是11个地分,但每次都是先拿2个,然后左右各分1个,直至分完。显然,三种方法体现了三种不同的思维层次。此时,教师如果立刻强调第三种分法,即教材倡导的方法(如图1),学生并不能很好地理解为什么要这样逐次地分。

实际教学中,教师应结合学生的不同操作过程,引导他们对比、思考。比如,第一种分法虽然有平均分的结果,但没有平均分的过程,可以启发学生质疑:“这样的操作,是提前已经知道每个人会分到4个,如果要分的数量很多,每人究竟分得多少不知道,又该怎样操作呢?”当出现第三种分法时,应要求学生作出解释:因为要平均分给2人,所以每次只要拿出2个,每人分1个,直到分完。此时,教师还可以追问什么要每次拿出2个?由此引导学生理解这种分法,关注其特点,感悟已知份数的情况下平均分操作的最优方法。

动手操作是学生认识活动的基础,是解决数学学科抽象性与小学生思维具体形象性之间矛盾的重要手段。有价值的操作活动能促进学生充分展开数学思考并解决相关的数学问题。课堂教学中,教师应创设充分的操作时空,使动手与动脑紧密相结合。这样,操作活动就会具有思维价值和逻辑力量,学生在操作过程中的思维活动就能趋向于数学的本质。

二、创设质疑时空,感悟除法本质

真正的教学不只是信息的传递。当学生被告知事实是什么时,教师实际上忽略了学生辨别能力和思考能力的培养。好的教学,要求教师少说,让学生多想。课堂教学中,教师应留给学生质疑的机会,让他们在发现和提出问题的过程中不断逼近数学的本质。

在学生体验“按指定的份数11个地分”和“按指定的每份数11份地分”这两种分法之后,教材中的例4引导学生将两种分法进行对比,帮助他们深化对平均分的体验。在此基础上,教材中的例5、例6将两种分法分别抽象成除法算式,教学除法的知识,引导学生初步理解除法含义,即:把一些物体按每几个一份地平均分求分成了几份,以及把一些物体平均分成几份求每份是多少,都可以用除法记性计算。此外,配合例4、例5、例6的“想想做做”和练习,一共有18道习题(不包含思考题)。其中,有11道题采用题组形式(两道除法或一乘两除的问题)。如此高频次地使用题组形式,旨在引导学生通过对比,强化对除法本质的理解,即如:把一些物体平均分,既可以把它们按每几个一份地分,也可以把它们平均分成几份,这两种方法都可以用除法来计算。

面对如此高频次的认知刺激,学生并非没有疑问,有的学生反而更加困惑了。比如,有的学生在完成随例6安排的想想做做3题(如图2)时,提出了以下的疑问:“既然都是把15本书平均分,为什么第一种分法不说‘平均’,而第二种分法却要说‘平均’呢?”

面对学生的质疑,我们不是直接给出解释,而是组织他们展开调查:这种情况在其他问题中还有没有?学生翻开教材逐个统计,发现教材中的除法问题都是这样来表述的。看来提出上述疑问的学生是很善于发现问题的,这也让其他学生佩服不已。由此,全班学生的探究兴趣得到进一步激发。之后,一个学生给出解释:“第一种分法如果添上‘平均’,就成了‘有15本书,每3本一堆,平均摆成了( )堆’。这样说就和前面的意思重复了。提问的学生振振有词:“前面并没有‘平均’啊?”这个学生进一步补充解释说:“每3本一堆,就是每份3本,也就表示每份分得同样多,即要把15本书平均分,所以后面就不用再说‘平均’了。这时,又有学生提出:既然第一种分法可以省略‘平均’,那么第二种分法说成‘有15本书,摆成5堆,每堆( )本’不可以吗?”面对这个问题,有的学生认为可以,但立马遭到其他学生的反驳:“15本书,摆成5堆,每堆的本数不一定都是3本。比如5堆可以分别是1本、2本、3本、4本、5本。这样的说法,不是把总本数平均分,不能用除法计算。”经过交流,全班学生形成共识:当已知总数和份数时,必须要说清楚求的是‘平均每份有多少’,这样才能用除法计算每份的数量。

学生理解抽象的数学概念,往往会有一个过程,这个过程也是在锻炼他们的数学思维。鼓励学生大胆质疑,培养学生的质疑能力,有助于他们主动把握问题的关键,深化对知识的理解,从而形成良好的知识结构。尽管有时学生的质疑会耽误一点教学进度,但是有价值的质疑值得驻足留步,因为这样的质疑能引发学生的深度思维,帮助他们触摸数学概念的本质,促使他们的认识从感性走向理性。

三、创设联想时空,探索运算关系

海德格尔认为,教比学更难,因为教意味着“让学习”。而课堂上“让学习”发生的方法之一就是促进学生进行联想。数学联想是依据已经掌握的知识技能,通过数学形象和数学直觉的有机结合,对数学对象的性质、特征、规律进行探索和推想。数学联想是一种合情推理,是培养学生思维灵活性和敏捷性的重要途径。

教材中的例7教学“用1~6的乘法口诀求商”。初次接触8÷2时,可以采用下面的方法:8-2-2-2-2=0,即每次从8里面减去12,连续减4次,正好减完,所以8÷2=4。在此之前,学生认识平均分时,求相关除法式题的得数时,也可理解成联系平均分的过程采用连减进行计算。这主要是因为,学生的认知中乘法是源于加法,所以他们很自然地会由除法联想到减法。在他们看来,“平均分”过程对应的就是减法中减数都相同的情况,所谓分完,就是减到结果为0。为此,在学生多次出现用减法计算除法的情况时,教师可以为学生开辟联想的时空,让他们展开必要的联想。比如,教师可以提问:“加、减、乘、除这四种运算之间有什么联系呢?”以此唤起学生对旧知的回忆,沟通新旧知识的联系,使他们在讨论中获得对四则运算之间关系的进一步认识。从朴素的联想到有序的联想,需要教师为联想的发生创设时空。在安全的联想时空里,学生不仅能把加减之间、乘除之间的互逆关系进行同化,而且还能把加数相同的连加可以表示为乘法、减数相同的连减可以表示为除法进行类比。虽然学生的联想源于对运算的初步认识,但这些认识却直指数学的本质。学生通过数学联想初步建立运算之间的关系之后,他们对口算的方法就有了全新的认识。等到学习“表内乘法和表内除法(二)”时,联系教材采用的编排方式(乘法和除法交替安排),学生就能更加强烈地感受到乘、除法之间的联系,并在数学联想的推动下,掌握相应的计算方法。

以练习十一第3题为例(如图4)。12道口算题包含了学生已经认识的四种运算。在学生口算完之后,我们不能只是简单地核对答案,而是让他们及时交流自己的口算方法。有的学生口算方法很有特色,如“42-7的口算方法是:“因为上面一题42÷6=7可以理解成42里有67,所以42-7就可以理解成671757,等于35。”再如,18+6和“21-7两道题,有学生的口算方法是:“18+6可以理解成3616等于4624。”21-7就是3717等于27,是14等等。

综上可见,教师在教学中为学生提供联想的时空,有利于唤起学生对旧知识的回忆,沟通新旧知识的联系,促进知识的迁移、应用。学生多角度展开思维,把所学知识进行纵横勾连、融会贯通,在体会运算之间联系、完善知识结构的同时,发展了思维深刻性和灵活性。

四、创设反思时空,回味除法内涵

任何学科知识都有其内在的逻辑及相应的结构。数学的抽象性决定了数学推理的严谨性和数学语言的特殊性。处于思维发展初级阶段的小学生,不可能一次就深入把握数学对象的本质。随着数学知识的抽象化程度和复杂性程度的增加,数学学习过程应进一步凸显“理解的深度”,而非“记住的速度”。其中,数学学习过程中的“回顾与反思”就是一种能提高理解深度的学习环节。回顾与反思不仅有利于学生梳理知识脉络,形成知识结构,而且能使他们在分析和评价自己学习过程的同时发展初步的元认知能力。课堂上,教师要给学生留出充裕的时间,引导他们充分经历回顾与反思的活动过程,初步养成反思的意识和习惯。

在本单元教学中,学生通过反思往往会提出如下一些问题:“平均分一定要正好分完吗?”“8个桃平均分给3个人,可以吗?”“7个桃,平均分给2个人,每人分得3个半,可以吗?”“为什么被除数和除数不能交换位置?等等。对于这些问题,教师一般不宜直接回答,而应鼓励学生先独立思考,再互相交流。通过思考、交流、碰撞,帮助学生不断深化认识、取得共识。

总之,除法概念不仅相对抽象,而且内涵丰富。教学除法的初步认识,一方面有助于学生扩展对四则运算的认识,为后续学习奠定基础;另一方面,也有助于他们进一步积累对数量关系的认识,培养用数学眼光观察生活的意识,提高应用所学知识解决问题的能力。实际教学中,教师要为学生创设思维的时空,促使他们充分感知,不断触摸知识的本质,逐步建立合理的认知结构合理,并由此形成更多有益的感悟。

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