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“给圆一个角”:深耕厚植中促进学生成长
作者:江苏省常州市新北区新桥实验小学 姚建法  录入时间:2022-6-30  阅读次数:229

“圆面积的计算”是苏教版教材五年级下册的教学内容。转化是圆面积计算公式推导的主要思想方法依据,也是本节课需要学生感悟的重点内容。学生虽然已经积累了推导平行四边形等面积计算公式的经验,但圆与多边形相比还是存在较大区别:一方面需要从“看不见”的圆心沿半径进行细分,得到若干相等的小扇形,再组拼成已知图形;另一方面,将曲边图形转化出直边图形,是一个无限逼近的过程,其中蕴含了极限思想。因此,把圆转化成长方形,其转化路径与思维过程更为隐蔽,课堂上更需要充分、有序地挖掘学生的朴素想法,利用好奇、探究、想象等关键要素,适时展开数学化的引领提升,以帮助学生形成数学理解,提升数学素养,实现意义建构。

【课堂回放】

    课始引导学生重温平面图形面积计算公式的推导过程,从长方形中“数”单位正方形个数到列出乘法算式“算”,再到平行四边形、三角形和梯形经过等积变形推导出相应的面积计算公式,逐步唤醒转化的思想方法。

    (课件出示圆)会求圆的面积吗?不会,因为圆没有“角”。是啊,多边形都有角,圆没有角。那怎么办呢?(学生陷入沉思)

    “那就给圆一个角吧!”稍后有学生给出了回应。“对对对,给圆一个角。”其他学生马上附和。

    我一愣,因为从来都没有这么想过。“那这个角‘给’在哪呢?”我反问道。“这个……”同学们再次陷入沉思。

    慢慢地,有学生陆续举手了:“就在圆心角那里。”“对对对,圆心角!”“圆心角就是圆的角,可以根据圆心角切开。”

“能说得在具体一点吗?”我继续追问。“沿半径切,还要切得小一点。”“要平均分。”

    “为什么要沿着半径切,还要切得小一点,同时要平均分呢?”我边问边画着示意图。“因为切得越小才能越像三角形。”“切得越大边上的空就会越多。”

    “切完后怎么办呢?”“拼呗,拼成学过的平面图形。”

    “那为什么要沿着扇形的半径切呢?更主要的原因是什么?”学生思考后明确:半径决定圆的大小。

“以前认识的扇形和研究平行四边形面积计算公式的方法,还可以在这里发挥作用啊。”我有意这样说道……

【教学思考】

    “给圆一个角”,多么奇特的想象啊!“为什么沿着半径切?”“为什么切成扇形?”“为什么把扇形切得越小越好?”一系列的追问,既基于学生的学习心理,又指向圆与扇形的本质要素。“切了之后怎么办”的续问,让转化思想方法在新情境中得以迁移。

1.深耕核心内涵,凸显每节课的长远价值。

    教学过程中,教师只有把握了知识的本质内涵,基于并超越学生已有的认知经验,才能使他们获得真正意义上的理解。每节课都是学生数学学习中的一个节点,教师应关注从一节课走向一类课,再从一类课回归一节课,彰显长程设计与结构关联的教材解读意识与深耕能力。

    一方面,圆面积计算公式推导应用的最基本、最核心的思想方法是转化。在学习多边形的面积计算时,学生已经积累了丰富的转化经验,他们在多次经历转化的过程中,已经初步体会转化的三要素,即转化对象、转化方向、转化方法。在本节课中,圆是转化对象,转化的方向是将未知变为已知,切拼则是实现转化的具体方法。显然,“如何切”是影响圆面积公式推导的关键。事实上,一般情况下,“先把圆沿直径(或半径)进行等分、再拼成近似平行四边形”的转化设计,学生是很难想到的。教材基于学生的实情,先让他们利用附页中的材料进行等分剪拼,体验转化的过程,再借助图形直观想象“等分的份数越多,拼成的图形越接近长方形。”在此基础上,组织学生观察、比较拼成的长方形与原来圆,依据图形之间的联系推导出圆面积的计算公式。这样的编排逻辑,能为学生提供解决问题的基本方向。

另一方面,概念的理解水平会影响学生进一步的学习效果,体现概念内涵的价值。教师如果能提供具有结构关联性的认知素材,减少学生思考过程中的认知负荷,则能为他们萌发创造性方案提供更多可能。上面的案例便是实证。学生在这个过程中,进一步“看到”之前所学知识的长远价值与生长意义:一是认识多边形特征时要抓住“点”、“边”、“角”这三个元素进行研究,知道研究平面图形特征的一般过程与方法;二是教材在“圆”这一单元中增加了扇形的认识内容,明确圆心角和半径是研究扇形的关键要素。学生正是在圆(扇形)和多边形特征之间找到了“角”和“边”这两个关键因素,经过认知组合生成“给圆一个角”的创意,并在互动对话中发现了转化的密钥——沿半径剪出圆心角尽可能小的近似三角形(扇形),最终借助图像直观和想象,将圆等积转化为近似的长方形,并通过分析“拼成的长方形与原来的圆有什么关系”,推导出圆面积计算公式,在自主建构知识的同时,感受到数学的转化的力量与极限的奥秘。

    这个案例从一个侧面印证了在日常教学中,教师不能满足于知识的生成与生长,还要关注其背后共性的研究视角,把握知识的本质内涵,从而引导学生在深刻理解知识的同时,感悟数学思想方法。

2.基于儿童立场,催生个性化的数学表达。

   创设面向每一个学生的数学活动,是数学课堂的应然追求。学生是学习的主体,课堂教学需要研究学生、促进学生,让不同的学生在数学上获得不同的发展。指向学生发展,教学就要基于儿童立场,在活动中关注学生的思维参与,在参与中引领思维向更深处前行。

    要鼓励学生说出自己的直觉。“给圆一个角”是学生基于多边形有角而圆没有角形成的数学直觉。这个直觉建立在“多边形有角就能求出面积,圆如果也有角也能求出面积”的经验之上,它是图形特征在日常积淀下的灵感迸发,是学生思维生长的原点。“圆心角就是圆的角”是学生在问题表征过程中自然生成的朴素语言。在特定的语境下,学生都能感受到它的具体含义,因而暂且无须纠结于表达本身的规范性。“怎样切”、“为什么要沿着半径切”的表达过程,再次把学生的数学思维引向深入,他们清晰地说出了已有的认识、和独特的想法。尤其是图像表征的示意图让学生在直观想象中与“极限”亲密接触,从而在有限与无限、直边与曲边之间搭起关联的桥梁。

要让学生说出理性的思维过程。数学结论虽然是理性而严谨的,但经由开放的探索、互动的对话,数学的过程依然充满着自由与创造。在解决问题的过程中,学生“给圆一个角”的灵光一闪,是一种直觉表达,需要教师及时跟进。“这个‘角’给在哪里”的设问,以及“怎样切”、“切完后怎么办”的追问,适时将学生的思维从朴素的直觉引向理性的思维。学生不仅在积极思索,还能逐步聚焦于圆中的扇形,进而有效展开数学化的操作和推理活动。这样,学生既积累了数学思维活动的经验,又实现了数学表达的进阶。

综上,教师既要深刻理解所教内容的数学本质,洞察所教内容的教育价值,又要坚守儿童立场,一切基于儿童、为了儿童、发展儿童,数学教学才能深耕厚植,寻找到促进学生不断生长的密码。

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