数学实验，特别是小学阶段的数学实验，主要是让学生通过具体观察、动手操作以及相应的讨论交流等形式，建立和验证猜想，进而获得结论、发现规律、解决问题的一种学习方式。本学期，笔者以“多边形的内角和”的教学为载体，开展了探究发现式实验的初步研究。

在设计的教学过程中，笔者从回忆三角形内角和开始，提出问题：多边形的内角和又是怎样的呢？由此引导学生展开相应的实验研究，从长方形到任意四边形，再到五边形、六边形……最后基于数据归纳出具有一般意义的结论。在课后的交流评议中，一位参与研讨的教师对课堂中“求五边形内角和”这一环节提出了不同看法，认为通过数学实验引导学生探索并发现规律的思路非常值得肯定，但数学实验不能一味“抄近路”，而要致力于引导学生基于基本的事理逻辑，充分展开自己的探索过程。这样的质疑，引发了笔者很多的思考。

【课堂回放】

在引导学生通过实验依次探究长方形和任意四边形的内角和之后，要求他们利用教师提供的五边形，进一步探究五边形的内角和。学生完成实验操作后，组织相应的展示和交流。

生：我用分的方法，把五边形分成3个三角形。这3个三角形的内角和合在一起是180×3=540°，所以五边形的内角和就是540°。

师：（出示图）这两位同学的分法不一样，把分出的三角形的内角和合在一起，还是540°吗？为什么？

生1：我觉得不是，因为这些三角形的内角与原来五边形的内角相比，多出了一些角。

生2：我觉得这样分也可以，可以先把分出的三角形的内角和合在一起，再从中去掉多出来的角。

师：你能看出哪些角是多出来的吗？

学生上台指明后，教师在“多出的角”上做相应的标记（如图4）。

师：比较上面的几种不同分法，你们更喜欢其中的哪一种？

生：我喜欢图1中的分法，因为这样分，不仅分的次数少，而且计算起来也很简单。

师：是的，我们在分多边形时，尽量不要有多出来的角。建议同学们就像图1这样，从一个顶点出发连续地分，这样比较简便、有序。

师：你会用这样的方法继续探究六边形、七边形、八边形的内角和吗？

……

探究发现式实验大多是贯穿与整个课堂的大实验，其思考探究的空间大、时间长、开放性强。实际教学时，常常会出现时间不够用的情况。在本片断中，为了使接下来的六边形、七边形、八边形内角和的探究既快又好，同时为了优化方法，我直接点明了“从一个顶点出发分”比较简便、有序，这一做法被有的教师认为是“抄了近路”。事实上，在强调了上述方法的便捷性之后，后面的探究过程显得十分顺畅，这就为分析实验数据、得出结论留出了更多的时间。

然而，正如有教师质疑的那样，这样“抄近路”的缺点也很明显：教学过程中学生的不同想法，没有得到充分的尊重，更没有去保护和加以利用，这无论是对于激发学生个体的学习兴趣，还是培养他们独立思考的习惯，都是不利的。再从整体上看，把全班“45个脑袋”变成“1个脑袋”，只用同一种方法去探究解决同一个问题，这无论对于培养学生的个性化思维还是创新意识，也都是不利的。

【课堂重构】

在学生按要求将五边形分成几个三角形，并尝试求出其内角和之后，同时呈现如上的图1、图2、图3等不同分法。

师：请看这几个同学的分法，他们都将五边形分成了三角形，可是为什么分出的三角形个数不一样呢？

生：因为图1是从一个顶点出发分的，图2是从底边上的一个点出发的，图3是从图形中间的一个点出发的。

师：根据图1的分法，可以怎样求五边形的内角和？

生：每个三角形的内角和是180°，3个三角形的内角和合在一起就是3个180°，180°×3＝540°。

师：老师有点不明白——按照这样的思路，图2把五边形分成了4个三角形，图3把五边形分成了5个三角形，那么五边形的内角和也有可能是4个180°或5个180°喽？可这样一来，算出的结果又是互相矛盾的呀！

生：图2尽管把五边形分成了4个三角形，但三角形中的有些角不能算做五边形的内角。

师：哪些角不能算做五边形的内角？

学生上台指出图2中处于五边形边上的3个角，教师随机将这3个角做上相应的标记。

师：那么，图3分成的5个三角形中，又有哪些角不能算做五边形的内角呢？

有学生主动上台将图3中不能算做五边形内角的几个角分别标注了出来。

师：这样一来，根据图2的分法可以怎样求五边形的内角和？根据图3的分法呢？

生：根据图2的分法，五边形的内角和是180°×4-180°＝540°；根据图3的分法，五边形的内角和是180°×5-360°＝540°。

师：在“180°×4-180°＝540°”这个算式中，作为减数的180°是图2中哪几个角的度数之和？这三个角的度数之和为什么是180°？

生：图2中不能算做五边形内角和的4个角正好组成了一个平角，所以它们的度数之和是180°。

师：在“180°×5-360°＝540°”这个算式中，作为减数的360°又是图3中哪几个角的度数之和呢？

生：图3中不能算做五边形内角和的5个角正好组成了一个周角，所以它们的度数之和是360°。

师：是的，尽管大家采用的分法各不相同，但是殊途同归，都能求出五边形的内角和，所以都是可以的。相比较而言，你比较喜欢哪一种分法？

大部分学生表示喜欢图1中的分法。

师：为什么喜欢图1中的分法？能说说理由吗？

生：因为按照图1中的分法，算起来比较方便。

师：总结一下，图1中的分法有什么需要关注的特点？

生1：画图时要从五边形的一个顶点出发，依次连接和它相对的顶点。

生2：要使分出的几个三角形的内角和合在一起之后，正好等于五边形的内角和，不能多也不能少。

师：下面请同学们选择自己喜欢的方法继续研究六边形、七边形、八边形的内角和。

学生各自操作、计算、实验、研究。探究活动结束后，呈现如下表格。

师：根据表中的数据，既觉得计算多边形内角和的算式有什么共同特点？

生1：都是180°与一个数相乘的积。

生2：和180°相乘的数就是分成的三角形的个数。         

师：分成的三角形的个数与多边形的边数又有什么关系？     

生：分成的三角形的个数就等于多边形的边数再减去2。

师：照这样，当多边形的边数是n时，它的内角和可以怎样表示？    

生：可以表示为（n－2）×180°。

师：老师还按照上面图3中的分法做了一张如下的表格。你能看懂表中的数据信息吗？

生：我看懂了，原来是几边形，就把它分成几个三角形；先用180°与分成的三角形的个数相乘，再从中减去不能算做多边形内角和的360°。

师：其他同学也看懂了吗？根据这个表中的数据，你觉得当多边形的边数是n时，它的内角和又可以怎样表示？

生：可以表示为n×180°－360°。

师：想一想，上面提到的（n－2）×180°和n×180°－360°，用它们算出来的结果会不会不一样？

生1：不会的，n×180°－360°中的360°正好是2个三角形的内角和，所以，算出的结果应该等于（n－2）×180°。

生2：根据乘法分配律，（n－2）×180°＝n×180°－180°×2＝n×180°－360°。

师：趋势如此，这两个式子尽管看上去不一样，但它们的本质其实是一样的。我们可以选择其中的任意一个计算多边形的内角和。

师：继续想一想，如果照着图2的分法开展研究，结果又会怎样呢？有兴趣的同学课后继续研究。

【教学反思】

在上述第一次教学中，笔者为了使探究规律的过程能够“短、平、快”，忽略了学生中出现的第二种分法（从一条边上分）和第三种分法（从图形的中间分）。其实，这两种分法的出现并不是偶然的。在笔者接触的多个班级中，无论是听课的班级，还是上课的班级，学生都会想到这两种分法。它们与第一种分法（从一个顶点出发分）并没有明显的繁简之分，只是“分的出发点”不同而已。而且这些分法对于探究多边形的内角和具有同等的价值。同时，这也是一个很好的可以让学生体会“尽管出发点不同，但是条条道路通罗马”的机会。并且，这其中还可以生成出更有价值的教学资源。即如，在第二次教学中，学生根据规律概括出了两个表示n边形内角和的式子：（n－2）×180°和n×180°－360°。笔者以此为资源，启发学生进一步思考：这两个式子的形式不一样，用它们算出的结果会不会不一样？引导学生从运算意义和运算律的角度，对这两个式子进行辨析，提升了规律探究的层次和品位。

通过这个课例，我深刻体会到：有时候，不恰当的优化，看似抄了近路，其实是关闭了学生学习数学的另一扇门；反之，多尊重学生的不同想法，多一些等待，看似绕了远路，其实是给学生的求异思维和创新意识打开了一扇窗。