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从一道填数趣题看“两、三位数除以一位数的教学”
作者:江苏省南通市崇川学校 夏延春  录入时间:2018-7-2  阅读次数:1972

一、对一道趣味填数题的教学分析

苏教版三年级上册教材第68页有这样一道填数题:

   小学三年级学生的思维水平处于具体运算阶段,此时他们虽然已经有了一定的逻辑推理能力,但整体上离不开具体形象的支持,思维具有一定的局限性。所以大多数学生看到题目下意识的想法不是去分析思考,推想所填的数应该满足什么条件,而是直接用不同的数进行试验,看填入哪些数之后能够得到符合要求的计算结果。经过反复尝试,大多数学生能够“凑出”一种或几种填法。然而填数的方法是多种多样的,仅凭“凑”很难列出所有的答案。怎样才能不重复、不遗漏地考虑到所有情况呢?这里需要我们根据已知条件进行推理,明确所填的数应该符合的条件,然后有根有据地找到相应的填法。

解答上面这两道填数题的关键,就是要理解商中间和末尾有0 的除法算理,掌握相应除法算式的特点并灵活地加以运用。大多数学生都能牢记“不够商1就商0”的计算方法,但不少学生也会由此产生一种思维定势:要使商的某一位上有0,只要被除数相应数位上的数是0或者比除数小就行了。他们往往忽略的一点是,决定商的某一位是否有0 ,不仅要看被除数相应数位上的数,还要考虑前一位上有没有余数。为此,在完成上述趣味填数题之前,笔者要求学生计算并比较下列各题,目的是帮助他们进一步明晰商中间和末尾有0的除法算式的特征。

402÷2    412÷2    312÷2

250÷5    252÷5    240÷5

通过计算和比较,引导学生自主总结商中间和末尾有0的除法算式的基本特征:商中间(十位)有0的算式:被除数首位能整除,十位上不够除(十位上的数比除数小);商末尾(个位)有0的算式:被除数首两位能整除,个位上不够除(个位上的数比除数小)。

根据上述结论,再引导学生思考开头的填数题。不难发现,左边一题,因为被除数百位上是8,除以4没有余数,所以要使商中间一位是0,只要使方框里填入的数比除数4小就可以了。显然,方框里可以填写0123这样的四个数。右边一题,要使商的末尾是0应该符合两个条件:第一,首两位除以3不能有余数,符合这一要求的数有三个,分别是154575,相应的被除数的百位上可以填147;第二,被除数个位上的数要比除数小,于是被除数的个位上可以填012。有能力的学生还可以对上述两步的填法进行有序的组合,完整地写出9种不同的答案。

需要说明的是,考虑到三年级学生的思维特点和认知水平,实际教学时一方面要启发他们依据相应的算理进行必要的推想,另一方面也应允许部分学生通过“试”和“凑”的方法得出不完全的答案,并在随后的汇报交流中择机总结这些答案的共同点,以丰富对相关计算原理、计算方法和算式特征的理解。

二、对于相关除法计算教学的启示

结合上面这道填数题的教学,笔者进一步认识到,除法计算教学的目标绝不能仅仅局限在让学生掌握一项运算技能,而应着力引导他们经历算理的理解过程、算法的探索过程,以及灵活应用相关计算方法解决问题的过程,帮助他们真正建立属于自己的理解,以发展数学思考,感悟数学的基本思想。

一要理清知识发生、发展的基本脉络,引导学生循序渐进地理解算理、掌握算法。

 “两、三位数除以一位数”在三年级上册的教材内容中占有较大的比重,不仅知识容量多,而且难点集中。教学时要准确理解不同知识和方法的逻辑关联,有针对性地确定有关的教学重点,以帮助学生逐一突破认知障碍,并为他们自主探索相关的计算方法提供合适的空间。例如,教学整十数和整百数除以一位数的口算时,重点要引导学生联系现实背景和已有的知识经验认识到“因为几个一除以一个数得几个一,所以几个十除以一个数得几个十、几个百除以一个数得几个百”,这样不仅能为接下来理解“除到哪一位,就要把商写在那一位的上面”提供支持,而且也有助于学生在“表内除法”和“笔算除法”之间建立起合适的联系。又如,教学两、三位数除以一位数的基本笔算方法时,例3的重点是引导学生理解并掌握“除的顺序”和“商的定位方法”,知道笔算两、三位数除以一位数时,要从最高位算起,除到哪一位就要把商写在那一位的上面;例5的教学重点是引导学生理解并掌握“首位不能整除时的处理方法”,知道当首位不能整除时,要把余下的数与下一位上的数合起来再除;例6的教学重点是引导学生将例5学习的计算方法进一步类推到三位数除以一位数的笔算过程之中,巩固对相关计算原理和方法的认识;例7的教学重点是引导学生理解并掌握“首位不够除时的处理方法”,知道当被除数的首位不够除时,要用被除数的前两位去除以相应的一位数。这样,不仅能使学生在一节课中相对集中地突破一、两个认知难点,而且有助于他们主动应用已经获得的知识和方法去解决新的计算问题,从而使教学过程更具探索性和挑战性。

二要通过直观的操作带动合乎逻辑的思考。如前所述,三年级学生的思维还具有较多的直观成分,相关的思维过程在整体上还离不开具体事物的支撑。所以教学时要尊重学生的知识经验和认知规律,适当提供操作活动的材料,择机组织相应的操作活动,以帮助他们更好地理解算理、掌握算法。例如,例3教学用竖式计算46÷2,重点需要帮助学生理解“除的顺序”和“商的定位方法”。考虑到学生在此前学习加、加法和乘法笔算时已经习惯了“从个位算起”,所以教学时要认真组织小棒操作活动,以启发他们在平均分的操作活动与相应的除法竖式之间建立起合适的联系:知道要将4捆带6根小棒平均分成2份,通常可以先分整捆的,再分单根的;而这个操作过程反映在竖式中就是先用十位上的4除以2,再用个位上的6除以2。为了帮助学生进一步感受“从最高位除起”这一计算规则的合理性,还可以结合例5的教学引导学生再次进行小棒操作,使他们操作中明确认识到:要将5捆带2根小棒平均分成2份,“先分整捆的,再将剩下的1捆和2根合起来继续分”要比“先分单根的,再分整捆的”更方便。充分经历上述操作过程,学生就能真正认可“从最高位除起”,并在解决新的计算问题时自觉主动地加以应用。

三要注意引导学生结合现实背景进行必要的估算,以估算结果支持对笔算方法的探索,在估算过程中反思笔算方法的合理性。例如,在教学商中间或末尾有0的三位数除以一位数的笔算时,可以要求学生联系对笔算除法计算方法的已有认识,先估计306÷3432÷4的商是几位数,商比100大一些还是小一些,引导他们在独立思考和相互交流的过程中逐步明确:因为306432的百位上是够除的,三百多除以3的结果一定是一百多,四百多除以4的结果也一定是一百多,所以这两题的商都是三位数,都比一百多一些。事实上,有了上面这样的认识,接下来探索笔算方法时,学生就不大可能漏写商中间或末尾的0,对计算结果合理性的把握能力也得到了相应的锻炼。

四要注意设计一些有针对性的对比练习,引导学生在比较中把握相关计算方法的联系和区别,不断提升理解水平。认知心理学认为,一个新的认知结构的形成总是会受到已有的、邻近的认知结构的干扰。抗干扰最有效的办法就是沟通、比较,建立联系。从有助于学生理解算理、探索算法的角度来看,笔者认为本单元需要进一步加强的对比式题主要有以下几类:表内除法与相应整十数、整百数除以一位数口算式题的对比;首位能够整除与首位不能整除的两位数除以一位数的对比;首位够除与首位不够除的三位数除以一位数的对比;商中间或末尾有0与商中间或末尾没有0的式题的对比,等等。适当组织上述对比练习,不仅有助于学生加深对除法笔算的基本过程和主要特点的理解,而且有助于促进相关计算方法的合理融合,提高学生依据计算原理和方法分析和解决问题的能力。

一道趣味填数题虽然在教学中所占的比重很小,但透过一道题的教学却能更好地了解学生在学习过程中的某些缺失,反思计算教学中的一些习惯性做法,从而不断提高教学品味,更好地实现相关计算教学的价值。

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