一、方程的本质

方程在我国最早出现在《九章算术》中，人们通过把算筹方方正正地摆放，从而解决问题。当时的“方程”相当于现在的增广矩阵，没有表示未知数的符号。方程真正进化为现代意义上的“含有未知数的等式”，始于韦达、笛卡尔等建立了代数的符号体系。这时，方程才获得了一般意义上的普遍形式，对其研究从探讨解法技巧逐渐升级为探讨方程解法的一般规律，进而形成了方程理论。

方程是一个数学概念。对于概念来说，定义是重要的。目前，中小学数学教科书一直沿用“含有未知数的等式”这一定义。尽管这一定义在某种程度上刻画了方程的内涵（含有未知数、是等式），对中小学生而言也是相对容易理解的，但也有学者认为，这样的定义缺少对方程价值和意义的关照，弱化了方程更为丰富的内涵。

方程研究的历史表明，人类创造方程的本源动机是为了更好地解决实际问题。具体地说，方程描述的是现实世界中与数量有关的两个故事（未知的量用字母表示），这两个故事有一个共同点，在这个共同点上两个故事的数量相等_[1]。例如，东东和方方收集邮票，东东收集了36枚邮票，方方给东东8枚后，两人的邮票正好一样多。方方收集了多少枚邮票？列出方程是36＋8＝x－8，这个方程表达的是两个故事（等号左边是东东的邮票，等号右边是方方的邮票），这两个故事中的某个量相等（方方给东东8枚后，两人的邮票相等）。也就是说，方程通过用等号将两件事情联系起来，等号两边的两件事情在数学上是等价的，方程的本质是表达了未知量与已知量的相等关系。就如“百度百科”开篇指出：“方程是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，通常在两者之间有一个‘＝’。”这里，强调方程是一种数学对象间的相等关系，而并非是对“未知数”和“等式”这两者的简单凸显。

回到教学中来，教学方程不能仅局限于它的“含有未知数的等式”的外表特点，还要凸显它是表示相等关系的一种数学形式。正如陈重穆教授所言：“有些名词定义作用并不大，要紧的是对其实质的理解与领悟。”_[2]

二、方程思想的内容核心

就显性的知识而言，方程的教学主要包括两方面的知识：列方程和解方程。但这两方面知识的背后蕴涵着重要的数学思想——方程思想，并且对应了方程思想的两个核心成分——建模和化归。

1.建模。

方程，为解决问题而生。列方程是通过建立已知数与未知数的相等关系来寻找未知数的数学工具。因此，列方程的关键是寻找实际问题中已知数与未知数之间的相等关系。寻找这样的相等关系，通常有两种办法。以《孙子算经》中记载的一道数学趣题为例：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？

我们可以通过逻辑关系得到已知数与未知数之间的相等关系。如果用x表示鸡的只数，那么兔的只数就是35－x。因为已知鸡脚和兔脚的总数，就可以根据这个已知条件得到如下的相等关系：鸡脚的只数＋兔脚的只数＝总脚数。用符号表示就是：2x＋4×（35－x）＝94。

也可以用归纳的方法得到已知数与未知数之间的相等关系，即通过个别情况的数值计算，发现数量之间存在的规律。如下表：

鸡/只	兔/只	脚的总数/只
35	35－35＝0	2×35＋4×（35－35）＝70
34	35－34＝1	2×34＋4×（35－34）＝72
33	35－33＝2	2×33＋4×（35－33）＝74

通过这样的计算过程，可以发现数量之间存在的规律：2×鸡的只数＋4×（35－鸡的只数）＝94。如果设鸡的只数为x，则可以得到方程：2x＋4×（35－x）＝94。

用归纳的方法得到已知数与未知数之间的相等关系，实质上是从分析函数关系入手，鸡的只数一旦确定，根据鸡和兔一共有35个头，可以求出兔的只数，进而又可以求出鸡脚只数与兔脚只数的总数了。因此，鸡的只数与鸡脚、兔脚的总数之间存在确定的依存关系。如果把鸡的只数视为自变量，那么脚的总数就是因变量（函数）。而“找寻使函数值符合一定要求的自变量，也就是解方程。”_[3]

不论是通过逻辑关系得到相等关系列方程，还是从分析函数关系入手列方程，从初次接触一个实际问题到最终建立方程，都经历了如下的过程：都是先把现实中的问题通过语言抽象，使之成为一个数学表达式，再在语言抽象的基础上进行符号抽象。可见，列方程就是从现实生活到数学的一个提炼过程，是一个用数学符号提炼现实生活中的特定关系的过程。_[4]列方程，即为数学建模活动。

方程的模型性还呈现出概括性。例如，根据“4x=120”，我们可以推出不同的问题情境：杨树有120棵，是柳树的4倍，柳树有多少棵；一根铁丝长120厘米，用它围成一个正方形，正方形的边长是多少厘米；等等。一旦将这些不同问题中非本质的情境、故事剥离，剩下的便是相似的结构、形式。“4x=120”恰恰就是这些不同情境、相似结构的数学问题的统一数学模型。

2.化归。

列出的方程需要求解，才能解决实际问题。因此，解方程不是纯粹的技能学习，而是建构数学模型、寻求结果的有机组成部分。解方程通常有两种方法：一是依据四则运算中的各部分关系解方程。如x＋5＝32，根据“一个加数＝和－另一个加数”，得出x＝32－5；10x－40＝120，把10x看作一个数，是减法算式中的被减数，根据“被减数＝减数＋差”，得出10x＝120＋40，接着求x的值就是解简单方程了。二是依据等式的性质解方程。等式的性质主要包括两条：等式两边加减乘除同一个数，等式仍然成立；等式两边交换，等式不变。如x＋5＝32，等式两边同时减5，就是x＋5－5＝32－5，得出x＝27；10x－40＝120，等式两边同时加40，就是10 x－40＋40＝120＋40，继续解方程10 x＝160，等式两边同时除以10，就是10x÷10＝160÷10，得出x＝16。

依据《课程标准（2011年版）》的要求，现行小学数学教材都应用等式的性质解方程。作出这样的要求，主要有两方面原因：一是利用四则运算中的各部分关系虽然能够解方程，有时还相当方便，但是只适宜解比较简单的方程，如果遇到更复杂的方程就不方便了。二是考虑小学和中学解方程的衔接。学生习惯使用四则运算各部分关系的思路和方法，不仅会干扰中学解方程的学习，而且不利于体现代数方法的本质。根据等式的性质对方程进行变形，探求方程的解，有利于学生进一步体会“相等关系”。

由此可见，解方程就是一次次地运用等式的性质逐步将原来方程转化为“x＝a”的形式。解方程，实质上就是同解变形。

三、方程思想的主要特点

学习方程的作用在于运用方程的方法解决问题。作为解决问题的一种重要思想方法，方程主要有以下几方面特点。

1.列方程解决问题是“正向”思维。

用等式的形式表示数量关系，如果已知数量集中在等号的一边，而等号的另一边刚好是所求问题，我们一般选择列算式解答。如果已知数量分布在等号的两边，而未知数量处在等号的一边或两边，我们一般会选择列方程解答。如：“西安小雁塔高43米，大雁塔的高度比小雁塔的2倍少22米，大雁塔高多少米？”“西安大雁塔高64米，比小雁塔高度的2倍少22米，小雁塔高多少米？”这两题的数量关系式都是“小雁塔的高度×2－22＝大雁塔的高度”。前面一题已知小雁塔高度，求大雁塔高度，列算式很容易。后面一题已知大雁塔高度，求小雁塔高度，当然也可以用列算式的办法解决：（64＋22）÷2，但“计算简单的方法往往需要付出逻辑思维的代价。”_[5]比较而言，后面一题用方程的办法解决更为程式化，思维成本明显降低。因此，就逻辑思考而言，列方程的思维是“正向”的，它能使我们顺着事情发展或叙述的顺序相对方便地进行思考，使我们在解决问题过程中相对地“少动一些脑筋”。

2.让未知量和已知量一起参加列式和运算。

我国数学家关肇指出：“在一些问题中，有些量是已知的，有些量是未知的，根据问题的内容，可以知道已知量和未知量之间的关系，从而可以由这个关系从已知量计算出未知量来，这就是解方程的问题。”这句话告诉我们，方程的本意就是求未知量，未知量应当参与等量关系式的构建。未知量获得和已量量一样的地位参加列式和运算，这恰是方程方法的重要价值之所在。方程方法的这一特点，一直是学生认知上的难点，也常常成为教师争议的焦点。下面是一位教师教学“认识方程”的课堂片断：自主活动中教师要求学生写一道方程。在学生举例后，教师出示：300－5＝x是不是方程？在多数学生说出“因为有未知数和等号，所以300－5＝x是方程”后，有一个学生提出质疑：根据300－5就可以知道答案，再在等号的后面写未知数感觉有些多余了。教师相机诱导：我们来看其他方程，未知数都在哪里？学生对比后，陆续有了以下回答：“其他的方程中未知数都在算式里，这个方程的未知数在得数的位置”，“其他的方程中未知数参加了列式”，“其他的方程中未知数都在干活，这个方程里的未知数懒懒地躺在答案的地方”，“从方程的样子来看，300－5＝x是方程，但这个方程和列算式方法没什么两样” 。上述片断中最精彩的部分是后面几位学生的发言。“未知数参加列式”、“未知数在干活”，这些回答尽管浅白，但却触及到方程方法的基本价值。

3.方程的运算形式主要是移项。

列方程的前提是用字母表示数，这个数往往就是所要求的数，我们把这个数称为未知数，通常用英文字母中的后几个x、y、z来表示。解方程的过程就是利用等式的性质把字母项移到方程的左边，把数字项移到方程的右边，然后进行四则运算。从这一计算过程，便能归纳出解方程的一个重要的计算形式——移项，即把一个项（数字或者字母）从方程的一边移到方程的另一边。移项的法则是：移项时必须改变项的符号（加与减的变换、乘与除的变换），移项体现了解方程的本质：字母可以像数那样进行运算和推理（这也是符号意识的内涵之一）。张奠宙先生指出：“代数的思想方法，其核心是基于含有x的‘式’的运算来求得未知数，最后解决数学问题。从数的运算到‘式’的运算，实行对消和还原，是算术与代数的根本区别。”_[6]对消，即为“移项”；还原，就是把本来淹没在方程中的未知数x暴露出来，还原x的本来面目。

四、方程思想的教学价值

学习方程，标志着学生从算术学习开始转向代数的学习。从算术到代数是人们对现实世界数量关系认识过程中的一个飞跃，在数学方法上也是一次突破。在小学阶段，方程的教学价值主要表现在以下几方面。

1.有助于发展学生的数学思维。

算术思维与代数思维的区别，集中体现在对“＝”含义的理解上。算术思维的核心是获取一个结果，以及确定获取这个结果与验证这个结果是否正确的方法。在算术运算中，“＝”具有过程性，表示等号前的算式经由运算得出等号后的结果的过程指向。代数思维是由关系或结构来描述的，其目的是发现（一般性的）关系，并把它们连接起来。代数中的“＝”只有结构意义，是连接左右两边代数式的“桥梁”，等式是一个整体。由等号的不同理解，从而衍生出过程性思维（也称程序性思维）与结构性思维（也称关系性思维）。前者把算式看做具体实施运算过程，思维定势是看到式子，就想算出结果；后者则是将字母或字母表达式看做直接对象，关注的是式与式之间的关系。方程通过“＝”将相互等价的两件事情连接起来，根本没有经过任何运算，阐述的只是一个事实本身，表达的只是未知量与已知量的相等关系。方程的学习，标志学生由过程性思维向结构性思维过渡，从对“数量”的理解转向对“关系”的研究。

2.有助于扩展学生的数学方法。

数学家笛卡尔在《指导思维的法则》一书中提出了一种解决问题的“万能方法”，其模式是：把任何种类的问题转化为数学问题；把任何种类的数学问题转化为代数问题；把任何种类的代数问题转化为方程（组）问题。现在看来，这样的结论未免有失严谨，但方程提供了一种全新的问题解决策略和思维方式，这是不言而喻的。我国著名数学家吴文俊教授也说：“对于鸡兔同笼之类的许多四则难题，你若用代数方法来做，就会变得非常容易。更重要的是，尽管这些四则难题制造了许许多多的奇招怪招，但是你跑不远、走不远，更不能腾飞……可是你要一引进代数方法，这些东西就变成了不必要的，平平淡淡的。你就可以做了，而且每一个人都可以做……所以四则难题用代数取而代之，这是完全正确的，对于数学教育是非常重要的。”学生解决实际问题的工具，从列出算式解答发展到列出方程解答，从未知数只是所求结果到未知数参与运算，这是数学思想方法上的一次飞跃，它使学生运用数学知识解决实际问题的能力提高到一个新的水平。

3.有助于培养学生的抽象概括能力。

用方程方法解决实际问题，一般循着这样的顺序展开：先是进行生活中的提炼，然后到数学表达，再到形式化的过程，最后是求解模型。其中，从现实情境到用自然语言等价地表达出来，是一次重要的抽象，也是数学建模的关键。其教学价值在于：学生学习从现实生活里错综复杂的事情中，将最本质的东西抽象出来。这种认识客观世界的独特方式的形成能让学生学习如何从量或形的视角去观察、把握周围的现实事物，这也是今后不论从事何种职业都不可或缺的基本素养。

从不同侧面对方程思想作出梳理与分析，至少给我们以下一些重要的启示：学生对方程概念的学习，方程的意义比方程的定义更为重要；学生对列方程、解方程的学习，体会“相等关系”比技巧训练更为重要。因此，通过一个个具体事例和现实情境，让学生在经历构建模型、寻求结果、解决问题的活动中，感悟方程的丰富内涵，应当成为方程教学的价值首选。

 

参考文献：

[1][5] 史宁中.小学数学教学中的核心问题——基本概念与运算法则[M],北京:高等教育出版社,2013.

[2] 陈重穆.淡化形式,注重实质[J].数学教育学报,1993(2).

[3] 张景中.感受小学数学思想的力量——写给小学数学教师们[J].人民教育,2007(18).

[4] 刘加霞.小学数学课堂的有效教学[M].北京:北京师范大学出版社,2008.

[6] 张奠宙,唐彩斌.关于小学“数学本质”的对话[J].人民教育,2009(2).