教学研讨活动中，听了一位教师借班教学五年级《小数加法和减法》。听课前发的教学设计中，教师设计的课堂教学目标涵盖了《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的知识技能、数学思考、问题解决和情感态度四个方面，全面、具体；课堂上，生活的情境、自主的建构、精美的课件、多样的训练……直观地，形式地，都体现着课程标准提出的基本理念和要求。然而，课堂教学进程中，当前课改背景下一些使用频繁的热词如“错误”“预设”“情境”相继在我脑海中蹦出，触发了我对这些热词所体现的教学理念和实践的再思考。

一、错误

【问题】“错误”是教学资源，这一观点已被许多教师接受并践行，从网络、杂志可以看到大量的相关论文和教学案例。科学合理利用好学生学习中的错误，有利于学生认识错误、纠正错误、防范错误，正确理解和掌握相应的知识、技能和方法，促进数学活动经验的积累。在数学教学中，为帮助学生理解一些概念、公式、规则，学会解决问题等，正误比较、错误诊断等成为教师常用的方式方法。许多教师因此细心寻找错误、编制错误、应用错误。然而，为真正有效地促进学生对相关知识的建构和内化，什么时候利用错误，如何利用错误等问题还值得我们在实践中反思总结。

【现场】本课教学中，为引导学生自主探索小数加减法的计算方法，教师在课始创设了一个生活情境（呈现三个学生到商店购买文具的图，配合教师解说），让学生自己提出问题并列出算式，并集体先尝试计算4.75+3.4。全体学生居然都列出了正确的竖式，并算出了正确的结果，然而，教师还是很坚决地在学生板演的正确竖式旁补上一个末位对齐的错误竖式，按照教学预设组织学生进行判断和分析。

【分析】根据我们的相关认知和教学经验判断，依据学生认知结构中已有的整数加减法计算方法等知识，学生在自主尝试中很可能出现把两个小数末位对齐的错误计算方法，并且出现这种错误的概率很大。然而，这种错误在本节课中并没有出现，在这里，我们不禁要问，既然学生都列出了正确的竖式并计算正确，还有没必要拿出可能会出现的错误，按照预设的教学进程进行分析比较？

正误比较、错误诊断，的确能帮助学生厘清有关概念，理解和掌握有关公式、法则和问题解决方法，避免发生同类错误。但学生知识建构初期，最初接受的信息往往制约着学生对相关知识的正确认识，错误的信息、错误的经验，有时反而会使学生思维产生混乱，对自己正确的理解和方法产生怀疑，对知识的正确建构产生干扰。本节课，出示末位对齐这种错误方法并不能帮助和促进学生对小数加法算理的理解，反而会干扰学生对算理的分析。记得曾经听过的同一内容的一节课，教师为了突出相同计量单位才能直接相加，提问：当两数末位对齐时，5和4分别表示什么？（5分和4角）5分和4角能直接相加吗？学生没有任何犹豫地说：能，5分和4角相加等于4角5分。在这里，我们可以看到，这样的设计和处理并没能帮助学生真正说清算理。我们完全可以针对正确的计算方法，围绕“为什么这样算”这一问题，引导学生运用生活的、形象的或数学意义的方法进行深入探讨。当学生理解了算理，“为什么不能末尾对齐相加？”这样的问题也就迎刃而解了。在学生初步理解算理和方法的基础上，再通过错误诊断等练习强化学生对方法的理解和掌握，可能教学效果会更好。

【观点】从影响学生知识建构的因素出发，新知建构阶段，尽量减少错误信息的干扰，重在运用正确的信息、正确的方法和经验促进学生对知识的意义建构，然后再通过一系列的比较分析，在比较中厘清，在辨析中提升，在实践中内化。当学生没有出现错误时，不应让他们“被错误”；当学生出现错误时，又不应回避，而要合理利用。

二、预设

【问题】“预设”一词在新课改中伴随着“生成”这一热词而成为热词，“预设”与“生成”作为一对矛盾的统一体共存于课堂。凡事预则立，不预则废。对于有目的有任务有计划的课堂教学活动，预设是教师的基本教学工作。预设，顾名思义是在预估基础上进行的设计。教师在上课前的备课过程也就是对课堂教学活动的预设过程，它一般包括对教学目标的设定、教学内容的处理、教学活动的设计、教学方法的选择等一切准备工作。虽然我们每天都在对教育教学活动，对每一节课堂教学，对每一知识的建构，对不同类型的习题等进行着预设。然而，我们如何基于学生的生成而预设？基于学生的意义建构而预设？如何基于课堂进程而调整预设？当前课堂中有些做法还很值得商榷。

【现场】教师对学生自主探索的小数加法的算法作了预设，学生可能会有2种算法，一种是正确的算法，即小数点对齐，也就是相同数位对齐；一种是错误的算法，即小数末尾对齐。对学生可能的思考过程进行了预设，教学设计纸（教案）上一共预设了6种：预设一，给两个数添上单位“元”，整数部分的数代表的是元，十分位上的数代表的是角，百分位上的数代表的是分，4元7角5分加3元4角，也就是8元1角5分；预设二，添上单位“米”进行思考，方法同预设一；预设三，在计数器上先后拨上4.75和3.4；预设四，分别用方块表示整数部分的数，用长条表示十分位上的数，用小格表示百分位上的数，然后分别合起来；预设五，根据小数的基本性质，在3.4的末尾添上一个0，340个0.01与475个0.01合起来是815个0.01，也就是8.15；预设六，因为只有相同计数单位上的数才能相加减，所以十分位上的4与十分位上的7相加。

实际进程，教师预计的2种算法和6种思考方法并没有在课堂全部出现，学生采用的都是完全正确的同一种计算方法；发言的第一个学生完整地用数学语言说出了算理，而且在老师的再三启发中并没出现第二种思考方法。课堂中，教师并没根据课堂进程作出调整，还是按照预设按部就班地进行了教学，把预设的2种计算方法集中呈现，把预设的6种思考方法，运用已制作好的课件配合教师的解说作了全部快速“放映”。

【分析】从这位教师对学生算法和算理的预设可以看到，其对学生可能出现的算法和思考过程的分析和预设非常全面、具体。实际上，学生的精彩生成许多都是教师预设的，都应在教师的“掌控”之下。只有对学生学习进程中出现的各种可能有全面把握，教师才能有的放矢地组织、调控好学生的自主探索活动，那更多的生成将是必然的而不是偶然的。

这里，学生自主探索的算法以及相应的思考过程出乎意料的统一和正确，一定程度上偏离了教师的预估，和教师的教学活动预设产生冲突，为教师的“精彩布局”制造了障碍，也许这是我们许多教师都不想看到的，特别是公开课。这节课教师对学生思考方法的预估应该并不存在问题，也许因为是一节借班公开课，学生课前可能进行了预习或者其他因素的影响，当然这也应该是教师借班上班预设时必须考虑的因素，本文在此对此不作讨论。

我们分析一下预设的6种思考方法，预设的第一、二种方法是从学生熟悉的生活视角来思考；预设的第三、四种方法是从具体形象的视角来说明；预设的第五、六种方法是从数学知识本身的意义出发的。这6种思考方法体现着不同的思维层次和发展阶段，我们真正要求学生理解的算理应是数学的、抽象的，这是学生提升数学素养之根本，是实现知识有效迁移之基础。生活的、形象的方法，某种程度上是为了抽象地理解、数学地理解。相应地，教师在预设时既要考虑全面，同时也要有准确的判断、数学的判断，这样才能科学合理地预设和调控课堂。本节课，我们并不是要求每个学生都能通过多种方法说明算理，当有学生已能数学地解释算理，为帮助所有学生都能真正数学地理解，可以有选择地创设一些生活的、形象的情境促进学生思维的提升和飞跃。教师的预估只是一种可能，在不影响学生知识建构时，不必把预设的内容再全盘托出。

【观点】对学生自主建构知识现实的预估及教学进程的预设，是基于教师自己的经验判断，基于对学生知识和经验、不同思维层次和方式的判断，基于对学习内容的理解、钻研和再创造。我们的预估要全面，但并不表示要在课堂全部呈现；预设要具体，但不能只是线性的而应是块状的菜单式的弹性设计。实施预案过程中，不能仅仅按照预设流程和内容严格执行，而是要根据课堂进程，合理调整。预设越充分合理，对课堂的把握和调控才会越合理，越得心应手。

三、情境

【问题】“情境”是课改以来许多教师在每节课的预设时都必须精心思考和设计的内容，甚至成为评价一节课好坏的必备要素之一。许多课堂特别是公开课，我们可以看到教师费心费神创设现实情境、数学情境，特别是热衷于创设前所未有的现实情境。的确，数学课堂中创设并运用好的情境，或能把抽象的数学变得生动，或能搭建数学和生活联系的桥梁，或能帮助学生更好地理解数学知识……现实中，许多课堂因情境而增色，因情境而增效。但细究一些课堂中的情境，我们又会发现，一些情境流于形式，仅仅成为课堂的点缀并可有可无，一些情境甚至成为影响学生有效建构数学知识的障碍。课堂中是不是一定要创设情境，特别是现实生活情境？根据具体数学知识以及需要，创设什么样的情境？课堂进程中如何以情境为载体引领学生自主建构数学知识？这些问题的清晰认识和解决是我们有效落实课程理念与目标的重要因素之一。

【现场】本课中，教师运用媒体呈现了三个学生到商店购买文具的生活情境图，并提出一系列数学问题：小明和小丽一共用了多少元？小明比小丽多用多少元？……之后，教师以4.75+3.4为例具体组织学生讨论和分析小数加法的算理和算法。学生出乎意料地都进行了正确的计算，并且从数学意义层面说清了小数加法的算理。

【分析】根据整数加法的知识和经验，五年级学生基本上应该能从数学意义层面理解小数加法的算理，即只有相同计数单位的数才能直接相加。这也是我们最终需要学生理解和掌握的算理，只有这样的算理才能在更大范围实现迁移，才能把相关知识融入到相应的数学知识结构中。

本课中创设的生活情境主要应该起到这样的作用：一是培养学生数学地观察生活和提出数学问题的意识；二是让学生感受数学与生活的联系；三是促进学生对小数加法算理算法的理解和建构。实际教学中我们发现，教师运用情境图引导学生自主提出问题后基本上就把情境抛弃了，情境仅仅成为导入新知、引出小数加减法算式的“敲门砖”。从上述第三个方面的作用出发，教学时要引导学生融入情境，充分运用情境中提供的生活素材，联系学生相关的生活经验来主动探索小数加法的算法以及理解其算理，即引导学生结合具体数量来分析：4.75元是4元7角5分，3.4元是3元4角，“4.75+3.4”的竖式应该把表示“元”“角”“分”的数分别对齐着写，才便于相加；再进一步引导学生从小数的意义进行分析：4.75是4个一、7个0.1和5个0.01，3.4是3个一、4个0.1，把相同计数单位的数对齐着列竖式，最便于计算。这样的学习过程，情境中的相关生活素材既能帮助学生自主建构小数加法的方法，又能使学生从生活和数学的层面真正理解这样计算的基本道理，从而更好地建构包摄性更强的认知结构。

【观点】数学课堂中的情境，应是数学知识的载体，是沟通学生经验世界与数学世界的桥梁。数学知识来源的多样性以及思维对于现实的能动性，数学意识、问题意识、应用意识等学生发展目标，以及数学化、建模思想等数学教学理念，决定了小学数学课堂教学必须重视教学情境的创设，必须基于数学知识的主要线索，创设合理的、合适的情境，同时更需要通过情境激活相关数学知识和活动经验，引导和促进学生自主有效地理解和建构数学知识，即情境应贯穿学生学习的全过程，让学生经历“问题情境—建立模型—解释或应用”这一重要的数学活动过程，既实现情境素材的情感价值、过程价值，又实现情境的数学价值，使学生学会“数学地”理解情境，更好把握情境所蕴含的数学关系，获得丰富的数学活动经验。